Πλανητική αστρονομία

Ο Ίππαρχος ασχολήθηκε κυρίως με τη παρατηρησιακή αστρονομία, σχεδίασε έναν νέο αστρικό χάρτη, κατασκεύασε νέο αστρονομικό όργανο παρατήρησης τη διόπτρα. Εκτίμησε το στόχο της ακριβούς ποσοτικής πρόβλεψης. Επεξεργάστηκε μεθόδους για την απόδοση αριθμητικών τιμών σε γεωμετρικά μοντέλα και έτσι για ποσοτική συμφωνία μεταξύ θεωρίας και παρατήρησης
Ο Απολλώνιος ο Περγαίος επεξεργάστηκε ένα νέο μαθηματικό μοντέλο για την κίνηση των πλανητών.
Κλαύδιος Πτολεμαίος, τα πλανητικά του μοντέλα έχουν τον ίδιο σκοπό με αυτά του Ευδόξου, την ανακάλυψη κάποιου συνδυασμού ομαλών κυκλικών κινήσεων που θα μπορούσε να εξηγήσει τις παρατηρούμενες θέσεις (τις φαινόμενες μεταβολές ταχύτητας και κατεύθυνσης) των πλανητών. Επιτρέπουν ακριβείς ποσοτικές προβλέψεις μελλοντικών πλανητικών θέσεων. Οι μαθηματικές τεχνικές του, σαφώς επηρεασμένες από το ανώτερο επίπεδο των μαθηματικών θεωριών της ελληνιστικής περιόδου, ήταν διαφορετικές από εκείνες του Ευδόξου. Συνέγραψε την πραγματεία Μεγίστη Μαθηματική Σύνταξη ή Αλμαγέστη
Ο Πτολεμαίος αντί για σφαίρες, χρησιμοποιεί κύκλους.

Μοντέλο έκκεντρων κύκλων

• 
  
• 
  

Έστω ο κύκλος ΑΒΔ, ο οποίος είναι η τροχιά ενός πλανήτη, και ας υποθέσουμε ότι ο πλανήτης Π κινείται ομαλά πάνω στον κύκλο. Εάν η κίνηση του Π είναι ομαλή, ο πλανήτης διατρέχει ίσες γωνίες σε ίσα χρονικά διαστήματα γύρω από το κέντρο Γ. Εάν το κέντρο της ομαλής κίνησης Γ ταυτίζεται με το σημείο παρατήρησης - αν η γη βρίσκεται στο Γ- τότε η κίνηση του Π δεν θα είναι απλά ομαλή, αλλά θα φαίνεται και ομαλή. Αν όμως το κέντρο της ομαλής περιστροφής και το σημείο παρατήρησης δεν ταυτίζονται- αν η γη βρίσκεται στο Ε- τότε η κίνηση του πλανήτη δεν θα φαίνεται ομαλή, καθώς φαινομενικά θα επιβραδύνεται όσο πλησιάζει το Α και θα επιταχύνεται όσο πλησιάζει το Δ. Αυτό το μοντέλο είναι ικανοποιητικό για απλές περιπτώσεις ανώμαλης κίνησης.

Εικόνα: Μοντέλο έκκεντρων κύκλων

Μοντέλο φερόντων κύκλων και επικύκλων

• 
  
• 
  

Έστω ο φέρων κύκλος ΑΒΔ, στον οποίο προσαρτούμε ένα μικρότερο επίκυκλο με κέντρο πάνω στην περιφέρεια του φέροντα κύκλου. Ο πλανήτης Π κινείται ομαλά πάνω στον επίκυκλο, ενώ το κέντρο του επίκυκλου κινείται ομαλά πάνω στον φέροντα κύκλο. Ο παρατηρητής Ε βλέπει τη σύνθεση των δύο ομαλών κυκλικών κινήσεων. Τα ακριβή χαρακτηριστικά αυτής της σύνθετης κίνησης εξαρτώνται από τις συγκεκριμένες τιμές που θα επιλεγούν - το σχετικό μέγεθος των δύο κύκλων και τις ταχύτητες και κατευθύνσεις των δύο ομαλών κινήσεων.
Όταν ο πλανήτης Π βρίσκεται στο εξωτερικό του επικύκλου, η φαινομένη κίνηση του πλανήτη (όπως φαίνεται από τη Γη) θα είναι το άθροισμα της κίνησης πάνω στον επίκυκλο και της κίνησης του επικύκλου γύρω από το φέροντα κύκλο, και ο πλανήτης θα έχει σε αυτό το σημείο τη μέγιστη φαινομένη ταχύτητα.

Εικόνα: Πτολεμαϊκό μοντέλο φερόντων και επικύκλων κύκλων

Όταν ο Π βρίσκεται στο εσωτερικό του επικύκλου, η κίνησή του πάνω στον επίκυκλο και η κίνηση του επικύκλου πάνω στο φέροντα είναι αντίθετες (όπως φαίνονται από τη Γη) και η φαινομένη ταχύτητα του πλανήτη προκύπτει από τη διαφορά τους. Αν η ταχύτητα του Π είναι η μεγαλύτερη από τις δύο, ο πλανήτης θα αντιστρέψει φαινομενικά την τροχιά του και θα παλινδρομήσει για κάποιο χρονικό διάστημα.

Τα 2 μοντέλα στηρίζονται στο αίτημα ότι οι πραγματικές πλανητικές κινήσεις-δηλ. οι συνιστώσες της κίνησης- είναι ομαλές και κυκλικές.
Η αδυναμία αυτών των μοντέλων να αναλύσουν κάποιες πλανητικές κινήσεις οδήγησε στη δημιουργία του μοντέλου των εξισωτών

Μοντέλο εξισωτών

• 
  
• 
  

Έστω ο έκκεντρος κύκλος ΑΖΒ με κέντρο το Γ και έστω ότι η Γη βρίσκεται στο Ε.

Καθώς ο πλανήτης περιστρέφεται, αντί να επιμένουμε ότι ο πλανήτης πρέπει να καλύπτει ίσες γωνίες σε ίσους χρόνους όπως μετρώνται από το κέντρο (συνήθης ορισμός της ομαλής κίνησης) θεώρησε ότι μπορεί να κινείται με τέτοιο τρόπο ώστε να καλύπτει ίσες γωνίες σε ίσους χρόνους όπως μετρώνται από το σημείο του εξισωτή - ένα μη κεντρικό σημείο που βρίσκεται στο Μ (τέτοιο ώστε ΜΓ=ΓΕ). Καθώς ο πλανήτης κινείται πάνω στο τόξο ΑΖ διατρέχει ορθή γωνία ΑΜΖ. Ας υποθέσουμε ότι ο πλανήτης διατρέχει αυτή τη γωνία και το αντίστοιχο τόξο σε τρία έτη. Τότε στα επόμενα τρία έτη, ο πλανήτης θα πρέπει να καλύψει την επόμενη ορθή γωνία ΖΜΒ και πρέπει να διατρέξει το αντίστοιχο τόξο ΖΒ. Αν συγκρίνουμε τα τόξα που διατρέχει, είναι φανερό ότι ο πλανήτης παρουσιάζει μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα στο τόξο ΖΒ από ότι στο τόξο ΑΖ. Ο πλανήτης βαθμιαία επιταχύνεται καθώς κινείται από το Α στο Β, και κατόπιν επιβραδύνεται καθώς κινείται από το Β στο Α. Η παρατήρηση της μεταβαλλόμενης κίνησης από το Ε, στην άλλη πλευρά του κέντρου από τον εξισωτή, θα μεγεθύνει τη φαινομένη μεταβλητότητα.
Το τυπικό μοντέλο ενός πλανήτη είναι όταν έχουμε έναν έκκεντρο φέροντα κύκλο ΑΒΔ, με κέντρο στο Γ. Η Γη βρίσκεται στο Ε και ο εξισωτής στο Μ. Ο πλανήτης περιστρέφεται ομοιόμορφα πάνω στον επίκυκλο. Το κέντρο του επικύκλου κινείται ομοιόμορφα γύρω από τον εξισωτή Μ. Η συνισταμένη κίνηση παρατηρείται από τη Γη στο Ε.

Στον πρόλογο του έργου του σημειώνει ότι «κάθε θεωρία σχετικά με τη θεία αιτιότητα της ουράνιας κίνησης ή την υλική φύση των πραγμάτων οδηγεί μόνο σε εικασίες, αν ο σκοπός είναι η βεβαιότητα, η μαθηματική μέθοδος είναι μονόδρομος».
Τα αστρονομικά μοντέλα επιλέγονται στη βάση της μαθηματικής τους απλότητας.
Μαθηματικός των Ουρανών και μέλος της παράδοσης του σώζειν τα φαινόμενα με μαθηματικά μέσα
Ο Αριστοτέλης, ενδιαφέρθηκε για ερωτήματα που αφορούν τη φυσική δομή ενώ ο Πτολεμαίος, ήταν ένας επιτυχημένος κατασκευαστής μαθηματικών μοντέλων.